Wartość Średnia Funkcji (CAŁKA) Explained

Czas czytania: 3 minutki

Jeżeli zawędrowałeś aż tutaj chcąc obliczyć wartość średnią funkcji, wiesz pewnie już czym jest całka i jak łatwo można ją sobie wyobrazić, dzieląc pole pod wykresem na prostokąty o nieskończenie małej szerokości (jeżeli nie – patrz tu).

 

Wykorzystamy to przy wyprowadzeniu głównego wzoru tego artykułu, ale na razie przypomnij sobie czym jest wartość średnia.

 

Oceny na koniec roku Jasia wyglądały w ten sposób:

 

Polski: 3

Matematyka: 5

Fizyka: 4

WF: 3

Biologia: 5

 

Jaka jest średnia jego ocen? 3 + 5 + 4 + 3 + 5, czyli 20 podzielone przez liczbę przedmiotów, czyli 5. Średnia ocen Jasia to 4. Łatwe dla danych dyskretnych, prawda? Spróbujmy w podobny sposób podejść do problemu policzenia średniej poniższej funkcji w przedziale [a, b]:

 

jjjkoijoijoij

Jasiu miał pięć przedmiotów, więc my wybierzemy 5 wartości jednakowo odległych od siebie na przedziale [a, b] i z nich policzymy średnią. Lepsze to niż nic, co nie?

 

jui

Średnia z naszych pięciu wartości funkcji to 2 + 3 + 2 + 2.5 + 4, czyli 13.5 podzielone przez 5. W wyniku dostajemy 2.7.

 

Spróbujmy uogólnić to co przed chwilą zrobiliśmy używając matematycznego znaku sumy:

 

CodeCogsEqn(14)

Myślę, że do tego momentu wszystko powinno być jasne. Teraz czas na odrobinę algebry. Pomnóżmy nasz wzór na średnią przez pewną specyficzną wartość:

 

CodeCogsEqn(15)

 

Zauważ, że  CodeCogsEqn(16) to po prostu jedynka. Mnożąc coś przez jeden, nic się nie zmienia (a jednak pomaga). Zauważ, że nie dobraliśmy tych dwóch literek bez powodu. Są to granice przedziału naszej funkcji. Ich różnica to po prostu długość przedziału na którym liczymy naszą średnią wartość. Uogólnijmy teraz trochę bardziej nasz wzór. W końcu nie musimy brać tylko 5 wartości “n”, może ich być nieskończenie wiele:

 

CodeCogsEqn(17)

I w końcu rozdzielmy nasz ułamek  CodeCogsEqn(16):

 

CodeCogsEqn(18)

Przyjrzyjmy się wielkości CodeCogsEqn(19). Jest to długość przedziału podzielona przez liczbę wartości, których użyliśmy do liczenia średniej. Zobacz poniższą graficzną interpretację tego ułamka (interpretacja całki jako sumy malutkich prostokącików z tego artykułu, bardzo się teraz przyda):

 

kokokokokhhhhh

gh

gh

Wyobraź sobie teraz, że a = 0 i b = 10. Wybraliśmy 5 wartości w celu przybliżenia naszej średniej, a więc wielkość “n” jest równa 5. Czym jest więc nasz kluczowy ułamek CodeCogsEqn(19)?

 

Ten ułamek to właśnie deltakjjjj, czyli szerokość jednego prostokącika, zbudowanego na wybranej wartości funkcji! ZMIENIAMY WZÓR:

 

CodeCogsEqn(18)

CodeCogsEqn(20)

Formalnością jest teraz pytanie, co się stanie gdy będziemy tą szerokość zmniejszać i zmniejszać i zmniejszać (CodeCogsEqn(21))? TAK, otrzymamy całkę (CodeCogsEqn(23)) w granicach naszego przedziału, czyli [a, b]. Jest to właśnie wzór na wartość średnią funkcji w przedziale:

 

CodeCogsEqn(20)

CodeCogsEqn(22)

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s